Valós függvény vonalintegrálja - példák


Példák valós függvény vonalintegráljával kapcsolatban.

1. példa

Legyen c(t)=(3t2,t+1)1t2 ,ami egy drótkötél pontjait adja meg. A drótkötél sűrűségét ("pontbeli" tömegét) az f(x,y)=x+y adja meg.
Számítsuk ki a drót tömegét.

Megoldás: Az össztömeget megkapjuk ha a kötél egyes pontjainak tömegét összeadjuk. Mivel most ezt a "pontbeli tömeget", vagy sűrűséget, az f(x,y) adja meg, ezért ezt kell integrálni a c(t) görbe mentén. Ki kell tehát számolnunk az cfds kifejezést. c(t)=(3,1)c(t)=32+12=10f(c(t))=(3t2)+(t+1)=4t1 Ezért az integrál: cfds=baf(c(t))c(t)dt=21(4t1)10dt=(2t2t)10|21=(82(21))10=510

Ha f(x,y) gramm/cm -ben lenne megadva és c(t) pedig cm-ben, akkor a drót tömege 510 gramm lenne.

2. példa

Sem a görbe ívhossza, sem pedig a tömege (vonalintegrálja) nem függ a görbe paraméterezésétől.
Az alábbi p görbe ugyanaz az egyenes szakasz mint az 1.példában volt, csak más a paraméterezése: p(t)=(9t2,3t+1),13t23

Számoljuk ki, hogy a vonalintegrálra tényleg ugyanazt az értéket kapjuk-e mint előbb.

Megoldás: (Hasonlóan az 1.pédához f(x,y)=x+y ) p(t)=(9,3)p(t)=92+32=90=310f(p(t))=(9t2)+(3t+1)=12t1 az integrál pedig pfds=2/31/3f(p(t))p(t)dt=2/31/3(12t1)310dt=(6t2t)310|2/31/3=[6(23)223(6(13)213)]310=(2492369+13)310=53310=510 ami pedig megegyezik az 1.példában kapott értékkel.
Az elején azt mondtam, hogy ez ugyanaz az egyenes, mint az előző példában volt, csak máshogy paramétereztük. Figyeld meg, hogy ennek a paraméterezésnek a "sebessége" p(t)=310 , ami háromszorosa az 1.példában látottnak. Az intervallum nagysága viszont amiben integráltunk 1/3t2/3 , most csak harmadannyi. Lényegében ez a két hatás "kioltja" egymást, és a két vonalintegrál értéke végül ugyanaz lesz.

3. példa

Ebben a példában megint ugyanaz az egyenes van mint az előző kettőben, csak most a paraméterezés "sebessége" nem lesz konstans, (függ t-től).

q(t)=(3t22,t2+1),1t2 Megoldás: Mert, q(t)=(6t,2t)q(t)=(6t)2+(2t)2=(40t)2=2t10f(q(t))=(3t22)+(t2+1)=4t21 ezért a vonalintegrál: qfds=21f(q(t))q(t)dt=21(4t21)2t10dt=21(8t32t)10dt=(2t4t2)10|21=[2(2)4(2)22+1]10=510 Ez pedig megegyezik az első két példa végeredményével.

2 Komment

  1. B.E

    Rábukkantam egy elírásra. Az utolsó formula 3. sorában be lett szorozva a zárójelben levő a 2t-vel, de még ide is ki van írva utána a 2t.

Szólj hozzá!

Az email cím nem lesz publikálva!

LaTeX kódot is írhatsz a $$ ... $$ vagy \$ ... $\ közé helyezve.
Komment előnézet:

Név

Captcha:

Nincsenek rendesen kitöltve a mezők! Komment hozzáadva