1. példa
Legyen
c(t)=(3t−2,t+1)1≤t≤2
,ami egy drótkötél pontjait adja meg. A drótkötél sűrűségét ("pontbeli" tömegét) az
f(x,y)=x+y adja meg.
Számítsuk ki a drót tömegét.
Ha f(x,y) gramm/cm -ben lenne megadva és c(t) pedig cm-ben, akkor a drót tömege 5√10 gramm lenne.
2. példa
Sem a görbe ívhossza, sem pedig a tömege (vonalintegrálja) nem függ a görbe paraméterezésétől.Az alábbi p görbe ugyanaz az egyenes szakasz mint az 1.példában volt, csak más a paraméterezése: p(t)=(9t−2,3t+1),13≤t≤23
Számoljuk ki, hogy a vonalintegrálra tényleg ugyanazt az értéket kapjuk-e mint előbb.
Megoldás: (Hasonlóan az 1.pédához f(x,y)=x+y ) p′(t)=(9,3)‖p′(t)‖=√92+32=√90=3√10f(p(t))=(9t−2)+(3t+1)=12t−1 az integrál pedig ∫pfds=∫2/31/3f(p(t))⋅‖p′(t)‖dt=∫2/31/3(12t−1)⋅3√10dt=(6t2−t)3√10|2/31/3=[6(23)2−23−(6(13)2−13)]3√10=(249−23−69+13)3√10=533√10=5√10 ami pedig megegyezik az 1.példában kapott értékkel.Az elején azt mondtam, hogy ez ugyanaz az egyenes, mint az előző példában volt, csak máshogy paramétereztük. Figyeld meg, hogy ennek a paraméterezésnek a "sebessége" ‖p′(t)‖=3√10 , ami háromszorosa az 1.példában látottnak. Az intervallum nagysága viszont amiben integráltunk 1/3≤t≤2/3 , most csak harmadannyi. Lényegében ez a két hatás "kioltja" egymást, és a két vonalintegrál értéke végül ugyanaz lesz.
3. példa
Ebben a példában megint ugyanaz az egyenes van mint az előző kettőben, csak most a paraméterezés "sebessége" nem lesz konstans, (függ t-től).
q(t)=(3t2−2,t2+1),1≤t≤√2 Megoldás: Mert, q′(t)=(6t,2t)‖q′(t)‖=√(6t)2+(2t)2=√(40t)2=2t√10f(q(t))=(3t2−2)+(t2+1)=4t2−1 ezért a vonalintegrál: ∫qfds=∫√21f(q(t))⋅‖q′(t)‖dt=∫√21(4t2−1)⋅2t√10dt=∫√21(8t3−2t)⋅√10dt=(2t4−t2)√10|√21=[2(√2)4−(√2)2−2+1]√10=5√10 Ez pedig megegyezik az első két példa végeredményével.
filad
@B.E
Köszönöm, javítva.
B.E
Rábukkantam egy elírásra. Az utolsó formula 3. sorában be lett szorozva a zárójelben levő a 2t-vel, de még ide is ki van írva utána a 2t.